┬áMengapa Belajar Matematika – Probabilitas dan Paradoks Ulang Tahun

Ketika saya memutuskan untuk menjadi jurusan matematika di perguruan tinggi, saya tahu bahwa untuk menyelesaikan gelar ini, dua mata kuliah yang diperlukan – antara kalkulus lanjutan – adalah Teori Probabilitas dan Matematika 52, yang merupakan statistik. Meskipun kemungkinan adalah kursus yang saya harapkan, mengingat kegemaran saya akan angka dan permainan kebetulan, saya segera belajar bahwa kursus matematika teoritis ini tidak berjalan di taman. Meskipun demikian, dalam kursus inilah saya belajar tentang paradoks ulang tahun dan matematika di baliknya. Ya, di sebuah ruangan yang terdiri dari dua puluh lima orang, kemungkinan bahwa setidaknya dua orang berbagi ulang tahun yang sama lebih baik daripada 50-50. Baca terus dan lihat mengapa.

Paradoks ulang tahun harus menjadi salah satu masalah yang paling terkenal dan terkenal dalam probabilitas. Singkatnya, masalah ini mengajukan pertanyaan, "Di ruangan sekitar dua puluh lima orang, berapa probabilitas bahwa setidaknya sepasang akan memiliki ulang tahun yang sama?" Beberapa dari Anda mungkin secara intuitif mengalami paradoks ulang tahun dalam kehidupan sehari-hari Anda ketika berbicara dan bergaul dengan orang lain. Misalnya, apakah Anda pernah ingat berbicara secara normal dengan seseorang yang baru saja Anda temui di pesta dan mengetahui bahwa saudara mereka memiliki ulang tahun yang sama dengan saudara perempuan Anda? Bahkan, setelah membaca artikel ini, jika Anda membentuk pola pikir untuk fenomena ini, Anda akan mulai menyadari bahwa paradoks ulang tahun lebih umum daripada yang Anda kira.

Karena ada 365 kemungkinan hari di mana hari ulang tahun dapat jatuh, tampaknya mustahil bahwa di sebuah ruangan yang terdiri dari dua puluh lima orang, kemungkinan dua orang yang memiliki ulang tahun yang sama harus lebih baik daripada bahkan. Namun ini sepenuhnya terjadi. Ingat. Kuncinya adalah bahwa kita tidak mengatakan dua orang yang akan memiliki ulang tahun yang sama, hanya bahwa dua orang akan memiliki tanggal bersama di tangan. Cara saya akan menunjukkan ini untuk menjadi kenyataan adalah dengan memeriksa matematika di balik layar. Keindahan penjelasan ini adalah bahwa Anda tidak akan memerlukan lebih dari sekadar pemahaman dasar tentang aritmatika untuk memahami impor paradoks ini. Itu benar. Anda tidak perlu diubah dalam analisis kombinasi, teori permutasi, ruang probabilitas komplementer – tidak ada yang ini! Yang perlu Anda lakukan adalah memosisikan pikiran Anda dan datang dengan cepat dengan saya. Ayo pergi.

Untuk memahami paradoks ulang tahun, pertama-tama kita akan melihat versi masalah yang disederhanakan. Mari kita lihat contoh dengan tiga orang yang berbeda dan tanyakan berapa kemungkinannya bahwa mereka akan memiliki ulang tahun yang sama. Banyak kali masalah dalam probabilitas diselesaikan dengan melihat masalah pelengkap. Yang kami maksud dengan ini cukup sederhana. Dalam contoh ini, masalah yang diberikan adalah probabilitas bahwa dua dari mereka memiliki hari ulang tahun yang sama. Masalah komplementer adalah probabilitas bahwa tidak ada yang memiliki hari ulang tahun yang sama. Entah mereka memiliki ulang tahun yang sama atau tidak; ini adalah dua kemungkinan dan kemudian ini adalah pendekatan yang akan kita ambil untuk memecahkan masalah kita. Ini benar-benar analog dengan memiliki situasi di mana seseorang memiliki dua pilihan A atau B. Jika mereka memilih A maka mereka tidak memilih B dan sebaliknya.

Dalam masalah ulang tahun dengan ketiga orang itu, biarkan A menjadi pilihan atau kemungkinan bahwa keduanya memiliki hari ulang tahun yang sama. Maka B adalah pilihan atau kemungkinan bahwa tidak ada dua yang memiliki hari ulang tahun yang sama. Dalam masalah probabilitas, peluang yang membentuk percobaan disebut ruang sampel probabilitas. Untuk membuat kristal ini jelas, ambil tas dengan 10 bola bernomor 1-10. Ruang probabilitas terdiri dari 10 bola bernomor. Probabilitas seluruh ruang selalu sama dengan satu, dan probabilitas dari setiap peristiwa yang membentuk bagian dari ruang akan selalu ada fraksi yang kurang dari atau sama dengan satu. Misalnya, dalam skenario bola bernomor, probabilitas untuk memilih bola apa pun jika Anda meraih dalam tas dan menarik satu bola adalah 10/10 atau 1; namun, probabilitas untuk memilih bola bernomor tertentu adalah 1/10. Perhatikan perbedaannya dengan hati-hati.

Sekarang jika saya ingin mengetahui probabilitas memilih bola bernomor 1, saya dapat menghitung 1/10, karena hanya ada satu bola bernomor 1; atau saya dapat mengatakan probabilitasnya adalah satu minus kemungkinan tidak memilih bola bernomor 1. Tidak memilih bola 1 adalah 9/10, karena ada sembilan bola lainnya, dan

1 – 9/10 = 1/10. Dalam kedua kasus, saya mendapatkan jawaban yang sama. Ini adalah pendekatan yang sama – meskipun dengan matematika yang sedikit berbeda – yang akan kita ambil untuk menunjukkan validitas paradoks ulang tahun.

Dalam kasus dengan tiga orang, amati bahwa masing-masing dapat lahir di salah satu dari 365 hari dalam setahun (untuk masalah ulang tahun, kita mengabaikan tahun kabisat untuk menyederhanakan masalah). Untuk mendapatkan penyebut pecahan, ruang probabilitas, untuk menghitung jawaban akhir, kami mengamati bahwa orang pertama dapat lahir pada hari-hari 365, orang kedua juga, dan seterusnya untuk orang ketiga. Oleh karena itu jumlah kemungkinan akan menjadi produk dari 365 tiga kali, atau 365x365x365. Sekarang seperti yang kami sebutkan sebelumnya, untuk menghitung probabilitas bahwa setidaknya dua memiliki ulang tahun yang sama, kami akan menghitung probabilitas bahwa tidak ada dua yang memiliki ulang tahun yang sama dan kemudian kurangi ini dari 1. Ingat baik A atau B dan A = 1-B, di mana A dan B mewakili dua peristiwa yang dipertanyakan: dalam hal ini A adalah probabilitas bahwa setidaknya dua memiliki ulang tahun yang sama dan B menunjukkan probabilitas bahwa tidak ada dua yang memiliki hari ulang tahun yang sama.

Sekarang, agar tidak ada dua orang yang memiliki hari ulang tahun yang sama, kita harus menghitung jumlah cara yang dapat dilakukan. Yah orang pertama bisa lahir di salah satu dari 365 hari dalam setahun. Agar orang kedua tidak cocok dengan ulang tahun orang pertama, orang ini harus lahir di salah satu dari 364 hari yang tersisa. Demikian juga, agar orang ketiga tidak membagikan ulang tahun dengan dua tahun pertama, maka orang ini harus lahir di salah satu dari sisa 363 hari (yaitu setelah kita mengurangi dua hari untuk orang 1 dan 2). Dengan demikian kemungkinan tidak ada dua orang dari tiga yang memiliki ulang tahun yang sama (365x364x363) / (365x365x365) = 0,992. Dengan demikian hampir dapat dipastikan bahwa tak seorang pun di kelompok tiga orang akan berbagi ulang tahun yang sama dengan yang lain. Probabilitas bahwa dua atau lebih akan memiliki ulang tahun yang sama adalah 1 – 0,992 atau 0,008. Dengan kata lain ada kurang dari 1 dalam 100 tembakan yang dua atau lebih akan memiliki ulang tahun yang sama.

Sekarang hal berubah cukup drastis ketika ukuran orang yang kita anggap mencapai 25. Menggunakan argumen yang sama dan matematika yang sama dengan kasus dengan tiga orang, kita memiliki jumlah total kombinasi ulang yang mungkin dalam ruangan 25 adalah 365x365x. .. x365 dua puluh lima kali. Jumlah cara tidak ada dua yang dapat berbagi ulang tahun umum adalah 365x364x363x … x341. Hasil bagi kedua angka ini adalah 0,43 dan 1 – 0,43 = 0,57. Dengan kata lain, di sebuah ruangan yang terdiri dari dua puluh lima orang, ada kemungkinan yang lebih baik dari 50-50 bahwa setidaknya dua orang akan memiliki ulang tahun yang sama. Menarik sekali, bukan? Mengagumkan matematika apa dan khususnya apa yang teori probabilitas dapat tunjukkan.

Jadi bagi Anda yang berulang tahun hari ini karena Anda membaca artikel ini, atau akan memiliki satu segera, selamat ulang tahun. Dan ketika teman-teman dan keluarga Anda berkumpul di sekitar kue Anda untuk menyanyikan Anda selamat ulang tahun, bersukacitalah dan bersukacita bahwa Anda telah membuat satu tahun lagi – dan jangan lupakan paradoks ulang tahun. Bukankah hidup itu agung?

Apa Pemimpin Dapat Belajar Dari Beyonce Knowles

Ada sesuatu yang bisa dikatakan tentang kepemimpinan yang hebat. Pekan terakhir ini adalah Super Bowl. Ini adalah acara nasional di mana kita mignons diperbolehkan untuk menyaksikan yang terbaik dari sepakbola yang hebat berkumpul dan saling mengalahkan hingga menjadi bubur untuk undang-undang bola perak, cincin blingy, hak menyombongkan diri, dan peningkatan keuangan umum. Ini juga merupakan acara yang sama di mana massa diperbolehkan untuk memiliki mini-konser 15 menit dengan beberapa nama top dalam bisnis pertunjukan. Tahun ini kami memiliki kesempatan untuk menyaksikan Beyonce Knowles sebagai tindakan babak pertama.

Anda bisa berdebat sepanjang hari tentang mengapa ini tidak pantas. Ya, dia cukup provokatif untuk audiens campuran. Ya, lagu-lagunya dipertanyakan dan liriknya secara blak-blakan untuk semua hal seks. Dan, ya, dia dikenal hanya memakai pakaian. Terlepas dari semua itu, satu hal tidak dapat disangkal. Wanita itu adalah pemain dan di bagian atas keahliannya.

Menjadi bahwa dia telah mendapatkan caranya untuk disebut sebagai salah satu pemain terbaik, Anda harus bertanya-tanya apa yang membuatnya berbeda. Ketika saya melihat hal-hal yang ketat untuk kesenangan atau untuk dihibur, saya selalu mencoba untuk melihat mereka dari "pelajaran apa yang dapat saya pelajari dari ini" atau "bagaimana ini akan membantu saya menjadi sesuatu yang lebih baik". Saya tidak menonton acara paruh waktu ketika sedang siaran langsung. Seperti yang saya katakan, gadis itu provokatif dan saya bersama keluarga saya di gereja. Akan sangat tidak pantas untuk melihatnya di sana.

Sebaliknya saya menangkap siaran ulang di YouTube. Saya mencoba yang terbaik untuk mempelajari kehebatan dalam tindakan dan Beyonce kebetulan menjadi salah satu orang yang saya teliti lebih dalam. Di salah satu dari banyak video YouTube, ia memberikan pandangan mendalam tentang persiapan yang terjadi untuk salah satu acaranya. Hanya jumlah profesionalisme dan dedikasi yang dia tunjukkan dalam tahap perencanaan cukup untuk mengirim sebagian besar dari kita kembali ke tempat tidur. Pikiran Anda, praktik sebenarnya untuk pertunjukan belum terjadi. Dia menyiapkan latihan untuk latihan pertunjukan. Sungguh menakjubkan betapa dia mengambil bagian dari seluruh konsep acaranya.

Tapi, kembali ke pertunjukan paruh waktu Super Bowl. Seperti yang saya duga, acaranya adalah contoh lain dari kepemimpinan dalam praktik. Seperti yang saya nyatakan sebelumnya, wanita ini adalah yang teratas di bidangnya. Dia adalah seorang pemain dalam dirinya sendiri, orang kepercayaan dalam kemampuannya sendiri untuk kesungguhan dan membujuk penonton untuk tunduk. Tariannya bergerak sendiri bisa naik keluar dari setiap remaja laki-laki. Liriknya dapat menyebabkan beberapa bayi dikandung pada malam konsernya. Bahkan, suaranya juga tidak terlalu buruk. Jadi di mana kepemimpinan dalam hal ini?

Dia memutuskan dengan semua kemampuan itu untuk berbagi panggung dengan dua wanita lain yang mungkin tidak akan pernah diberi kesempatan lagi. Dia memutuskan untuk mengizinkan Kelly dan Michelle tampil di panggung dengannya di salah satu arena yang paling dipublikasikan di dunia. Destiny Child kembali. Semua tiga wanita berada di satu panggung dengan banyak penari cadangan melakukan hal-hal mereka. Langkah itu benar-benar brilian dan menunjukkan bentuk kepemimpinan tertinggi: kerendahan hati.

Apakah Beyonce butuh bantuan untuk bernyanyi? Tidak. Apakah dia butuh bantuan untuk menari? Tidak. Apakah dia butuh bantuan untuk memimpin orang banyak? Tidak. Apakah wanita lain memiliki suara yang lebih kuat daripada dia? Tidak. Apa yang harus ia peroleh dari membiarkan wanita lain tampil bersamanya di panggung "dia"? Tidak ada. Namun dia melakukannya. Jika Anda tidak dapat melihat kepemimpinan dalam hal itu, saya mohon Anda untuk melihat lebih dekat.

Saya bercita-cita menjadi tipe pemimpin seperti itu. Tindakan Beyonce menunjukkan bahwa ia memiliki keyakinan dalam kemampuannya di bidangnya dan bahwa ia tidak terintimidasi dengan membiarkan orang lain berbagi sorotan. Dia tahu bahwa dia adalah bagian utama dan tidak ada salahnya membiarkan orang lain merasakan dan merasakan apa yang dia lakukan dan bagaimana dia melakukannya. Kelly dan Michelle kemungkinan besar tidak akan pernah tampil di depan orang banyak seperti itu lagi. Sementara mereka mengejar karir independen di luar Destiny's Child, mereka tidak pernah mencapai kesuksesan yang dimiliki kelompok sebagai artis solo. Ini mungkin adalah kesempatan terakhir mereka untuk tampil di level ini. Beyonce, di sisi lain, mungkin baru saja memulai.

Apa yang bisa Anda dan saya pelajari dari ini? Ketika kita berada dalam posisi kepemimpinan, kita harus aman di posisi kita sebagai pemimpin. Kita harus tahu bahwa kita dilatih dan diperlengkapi untuk melakukan pekerjaan kita, tidak peduli seberapa berbakatnya orang berikutnya. Kita harus yakin bahwa kita dapat melakukan pekerjaan itu sendirian jika perlu, tetapi lebih suka mengulurkan tangan membantu dan memberi orang lain kesempatan. Pemimpin harus mampu tampil di bawah tekanan tanpa cacat dan memberikan langkah-langkah yang dapat ditindaklanjuti, yaitu gerakan tarian, yang dapat diikuti atau ditiru orang lain. Kita harus tahu bagaimana mendelegasikan tugas atau lirik kepada orang-orang yang mendukung. Kami juga harus bersedia untuk berdiri di depan dan menempatkan nama kami di telepon tidak peduli hasilnya, baik atau buruk.

Kepemimpinan dapat menjadi rumit dan rumit hanya jika kita mengizinkannya. Sebagian besar waktu kita sebagai pemimpin tahu bagaimana kita harus bertindak dan apa yang seharusnya kita lakukan. Jika Anda seorang pemimpin, itu karena Anda memiliki kemampuan kepemimpinan bawaan yang orang lain lihat dalam diri Anda. Kita masih bisa belajar dari para pemimpin lain. Akhir pekan ini saya memilih untuk belajar dari Beyonce. Saya mendorong Anda untuk melakukan hal yang sama.